Derivative là gì toán học

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng rẽ và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds

I. Đạo hàm (derivative)

1. Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số

*
khẳng định trên D,
*
.

You watching: Derivative là gì toán học

Cho

*
số gia
*
(ko sáng tỏ dương xuất xắc âm) sao cho:
*
. Ta call
*
là số gia của hàm số
*
.

Lập tỷ số:

*

Tìm số lượng giới hạn của tỉ số trên lúc

*
. lúc kia, số lượng giới hạn hữu hạn (trường hợp có) được call là đạo hàm của hàm số trên
*
với ký kết hiệu
*

Nlỗi vậy:

*

Nếu đặt

*
, ta có:
*

Tổng quát:

*

– Đạo hàm trái: ví như số lượng giới hạn

*
trường tồn và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của f(x) trên
*
. Ký hiệu
*

– Đạo hàm phải: nếu như giới hạn

*
mãi sau với hữu hạn thì số lượng giới hạn kia hotline là đạo hàm mặt bắt buộc của f(x) trên
*
. Ký hiệu
*

– Từ đặc thù của giới hạn ta gồm định lý sau:

Hàm số f(x) có đạo hàm trên

*
lúc còn chỉ Khi f(x) bao gồm đạo hàm trái và đạo hàm cần trên
*
cùng các đạo hàm kia đều nhau.

Ví dụ 1: Cho hàm số:

*
} 1 \\ \endarray \right. " class="latex" />

Tìm

*

Ta có:

*

*

Vậy

*

Do đó: f(x) không tồn tại đạo hàm tại x = 1.

See more: Hướng Dẫn Cách Gỡ Phần Mềm Trong Win 10 Chi Tiết Dễ Thực Hiện

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

3. Các định lý về đạo hàm:

3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) tất cả đạo hàm tại

*
thì f(x) liên tục trên điểm này. (Chiều ngược chở lại không có thể đúng).

Chứng minh: do f(x) bao gồm đạo hàm tại

*
nên:

*

Theo có mang số lượng giới hạn, ta có

*
(
*

Từ đó:

*

Do

*

Vì vậy:

*

Nghĩa là:

*

Hay:

*

Vậy: f(x) liên tiếp tại

*

– Chiều trở lại ko vững chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 làm việc trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tiếp tại x = 1 nhưng lại không tồn tại đạo hàm trên điểm này.

– Phản ví dụ 2: Xét hàm số

*
liên tiếp bên trên R tuy vậy không có đạo hàm tại x = 0.

See more: Chả Cá Thác Lác Nấu Canh Chua, Cách Nấu Canh Chua Chả Cá Thác Lác Chỉ Cần

3.2 Định lý 2: (phép tắc tính đạo hàm)

Nếu u(x) với v(x) là các hàm gồm đạo hàm trên x thì tổng, hiệu, tích thương thơm cũng có thể có đạo hàm trên x và ta bao gồm những công thức:

1.

*

2.

*

3.

*

3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)

Nếu

*
gồm đạo hàm trên
*
với
*
khẳng định trong một khoảng chừng đựng
*
và bao gồm đạo hàm tại
*
. Khi đó: hàm
*
tất cả đạo hàm trên
*
cùng

*

Tổng quát:

*

Chứng minh:

Ta có:

*

Từ quan niệm giới hạn, ta suy ra:

*
(1)

trong những số đó

*
lúc
*

Viết lại đẳng thức (*) ta có:

*
(2)

Chia 2 vế của (3) đến

*
ta có:

*

Mặt khác, vày :

*
cần
*
thì
*

Vậy:

*
(4)

Mà:

*
(5)

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

*
.

3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)

Cho hàm số y = f(x) liên tiếp và đồng biến hóa (hoặc nghịch biến) trong tầm (a,b). Nếu f(x) gồm đạo hàm tại

*
với
*
thì hàm ngược
*
của f(x) cũng đều có đạo hàm trên
*
và:

*

Chứng minh:

Vì f(x) là hàm đồng đổi mới (nghịch biến) trong vòng (a,b) buộc phải mãi mãi độc nhất vô nhị hàm ngược

*