Tìm m để ma trận khả nghịch

Bài viết này peaceworld.com.vn trình làng phương pháp nhằm Chứng minh một ma trận suy phát triển thành với ma trận khả nghịch với các ví dụ minh hoạ gồm lời giải bỏ ra tiết:

*

ví dụ như 1: Cho $A,B$ là những ma trận vuông cung cấp $n$ khả nghịch. Chứng minh rằng ví như $A+B$ khả nghịch thì $A^-1+B^-1$ cũng khả nghịch.

You watching: Tìm m để ma trận khả nghịch

Giải. Có $A(A^-1+B^-1)B=AA^-1B+AB^-1B=EB+AE=B+A.$

Do kia $det (B+A)=det left( A(A^-1+B^-1)B ight)=det (A)det (A^-1+B^-1)det (B).$

Do $det (A) e 0;det (B) e 0;det (A+B) e 0Rightarrow det (A^-1+B^-1) e 0.$Ta gồm điều nên minh chứng.

ví dụ như 2: Chứng minh rằng ma trận $A$ vuông cấp $n$ hài lòng $a_kA^k+a_k-1A^k-1+...+a_1A+a_0E=0(a_0 e 0)$ thì ma trận $A$ khả nghịch cùng tra cứu ma trận nghịch hòn đảo của chính nó.

Giải. Có $a_kA^k+a_k-1A^k-1+...+a_1A=-a_0ELeftrightarrow Aleft( -fraca_ka_0A^k-1-fraca_k-1a_0A^k-2-...-fraca_1a_0E ight)=E.$

Điều đó chứng minh ma trận $A$ khả nghịch cùng $A^-1=-fraca_ka_0A^k-1-fraca_k-1a_0A^k-2-...-fraca_1a_0E.$

lấy một ví dụ 3: Cho $A,B$ là các ma trận thực vuông cấp $n$ khác nhau với đống ý ĐK $A^3=B^3$ cùng $A^2B=BA^2.$ Chứng minh rằng ma trận $A^2+B^2$ suy biến.

Giải. Có $(A^2+B^2)(A+B)=A^3+A^2B+B^2A+B^3=2A^3+2B^2A=2(A^2+B^2)A.$

Giả sử $det (A^2+B^2) e 0$ lúc đó $A+B=2ALeftrightarrow A=B$ (mâu thuẫn với trả thiết).

Vậy $det (A^2+B^2)=0.$

lấy một ví dụ 4: Cho $A$ là ma trận vuông. Điều khiếu nại nhằm $A$ là ma trận đối xứng là $A"=A;$ ĐK nhằm $A$ là ma trận phản nghịch đối xứng là $A"=-A.$ Chứng minch rằng:

Ví dụ 5: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thỏa mãn $2A^3-A=E.$ Chứng minh rằng ma trận $E+2A$ khả nghịch cùng kiếm tìm ma trận nghịch đảo của nó.

Giải. Có $(E+2A)(aA^2+bA+cE)=2aA^3+(a+2b)A^2+(b+2c)A+cE.$

Ta sẽ lựa chọn $a,b,c$ làm thế nào để cho $2aA^3 + (a + 2b)A^2 + (b + 2c)A = 2A^3 - A Leftrightarrow left{ eginarrayl 2a = 2\ a + 2b = 0\ b + 2c = - 1 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl a = 1\ b = - frac12\ c = - frac14 endarray ight..$

Vậy $(E+2A)left( A^2-frac12A-frac14E ight)=2A^3-A-frac14E=E-frac14E=frac34ELeftrightarrow (E+2A)left( frac43A^2-frac23A-frac13E ight)=E.$

Điều kia chứng minh ma trận $E+2A$ khả nghịch cùng bao gồm ma trận nghịch hòn đảo là $A^-1=frac43A^2-frac23A-frac13E.$

ví dụ như 6: Cho $A,B$ là nhị ma trận vuông vuông cung cấp $nge 2$ thoả mãn $AB+A+B=O.$ Chứng minc rằng nếu $A$ khả nghịch thì $B$ khả nghịch.

Giải. Có thay đổi từ mang thiết bao gồm $A^-1$ nlỗi sau:

$eginarrayl AB + A + B = O Rightarrow A^ - 1left( AB + A + B ight) = O Leftrightarrow A^ - 1AB + A^ - 1A + A^ - 1B = O\ Leftrightarrow B + E + A^ - 1B = O Leftrightarrow B(E + A^ - 1) = - E Rightarrow det (B)det (E + A^ - 1) = det ( - E). endarray$

Do kia $det (B) e 0;det (E+A^-1) e 0.$ Ta bao gồm điều đề xuất chứng tỏ.

lấy ví dụ như 7: Cho $A,B$ là nhì ma trậnvuông thuộc cấp thỏa mãn $AB+2019A+2020B=O.$ Chứng minc rằng các ma trận $A+2020E$ và $B+2019E$ khả nghịch.

Giải. Có $AB+2019A+2020B=OLeftrightarrow (A+2020E)(B+2019E)=2019.2020E.$

Do kia $det (A+2020E).det (B+2019E)=det (2019.2020E).$

Suy ra $det (A+2020E) e 0;det (B+2019E) e 0.$ Ta tất cả điều đề nghị minh chứng.

ví dụ như 8: Cho $A,B$ là nhì ma trận vuông thuộc cung cấp, có cung cấp là số lẻ đồng tình $AB=O.$ Chứng minh rằng ít nhất 1 trong các nhị ma trận $A+A"$ với $B+B"$ suy trở thành.

See more: Chia Sẻ Cách Làm Tương Chấm Nem Nướng Nha Trang Ngon Miệng Đúng Vị

ví dụ như 9: Cho $A=(a_ij)_n imes n$ với $a_ij=-1,forall i=j;a_ijin left 0,2019 ight,forall i e j.$ Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch.

Giải. Theo tư tưởng về định thức có: $det (A)-(-1)^n$ phân chia không còn đến $2019$ cho nên vì thế $det (A) e 0.$

lấy một ví dụ 10: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ vừa ý $A^2019=O$ cùng $B(A-E)=A+3E.$ Chứng minch rằng ma trận $B$ khả nghịch.

Giải. Có $B(A-E)=A+3ERightarrow det (B)det (A-E)=det (A+3E).$

Ta đề xuất minh chứng $det (A-E) e 0;det (A+3E) e 0.$

Theo đưa thiết có:

$-E=-E^2019=A^2019-E^2019=(A-E)(A^2018+EA^2017+...+E^2017A+E^2018).$

Lấy định thức nhị vế bao gồm $det (A-E) e 0.$

Tương từ bỏ gồm $(3E)^2019=A^2019+(3E)^2019=(A+3E)(A^2018-3EA^2017+...+(3E)^2018).$

Lấy định thức hai vế bao gồm $det (A+3E) e 0.$

ví dụ như 11: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp cho $n$ vừa lòng $A^2019=O$ với $A+2019E=AB.$ Chứng minch rằng ma trận $B$ suy đổi mới.

Giải. Có $A^2019=ORightarrow left( det (A) ight)^2019=0Leftrightarrow det (A)=0.$

Biến đổi $2019B=AB-A=A(B-E)Rightarrow 2019^ndet (B)=det (A)det (B-E)=0Leftrightarrow det (B)=0.$

Ví dụ 12: Cho $A$ là ma trận vuông cấp cho $n.$ Chứng minh rằng nếu như vĩnh cửu số tự nhiên $m$ sao cho $A^m=O$ thì những ma trận $E-A$ và $E+A$ khả nghịch.

Giải. Có $E=E^m=E^m+A^m=(E+A)(E^m-1-E^m-2A+...+A^m-1).$

Lấy định thức nhì vế bao gồm $det (E+A) e 0.$

Vì $A^m=0Rightarrow A^2m+1=0Rightarrow E=E^2m+1=E^2m+1-A^2m+1=(E-A)(E^2m+E^2m-1A+...+A^2m).$

Lấy định thức nhị vế tất cả $det (E-A) e 0.$

lấy ví dụ như 13: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp cho $n$ tán thành $AB=BA$ và tồn tại các số nguim dương $m,p$ làm sao cho $A^m=O,B^p=O.$ Chứng minc rằng các ma trận $E-A-B$ và $E+A+B$ khả nghịch.

Giải. Có $AB=BA$ cần $(A+B)^m+p=sumlimits_k=1^m+pC_m+p^kA^m+p-kB^k=O.$

Do đó theo ví dụ 12 gồm ngay lập tức điều phải chứng tỏ.

Ví dụ 14: Cho $A,B$ là nhị ma trận vuông thực cung cấp 2019 thoả mãn:

$det (A)=det (A+B)=det (A+2B)=...=det (A+2019B)=0.$

Chứng minh rằng với tất cả $x,yin mathbbR$ ta tất cả $det (xA+yB)=0.$

ví dụ như 15: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n.$ Chứng minc rằng nếu vĩnh cửu số nguim dương $m$ hài lòng $(A+E)^m=O$ thì ma trận $A$ khả nghịch.

ví dụ như 16: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n$ hợp ý $A^2019=2019A.$ Chứng minch rằng ma trận $A-E$ khả nghịch.

Giải. Biến đổi mang thiết:

$eginarrayl A^2019 - 2019A = O Leftrightarrow (A^2019 - E^2019) - 2019(A - E) = 2018E\ Leftrightarrow (A - E)left( A^2018 + A^2017 + ... + A + E - 2019E ight) = 2018E\ Leftrightarrow (A - E)left( A^2018 + A^2017 + ... + A - 2018E ight) = 2018E. endarray$

Lấy định thức nhị vế bao gồm $det (A-E) e 0.$

Lúc Này peaceworld.com.vn kiến tạo 2 khoá học tập Toán thù cao cấp 1 với Toán thù thời thượng 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH kân hận ngành Kinch tế của tất cả các trường:

Khoá học tập cung ứng đầy đủ kỹ năng và kiến thức và cách thức giải bài bác tập những dạng tân oán đi kèm mỗi bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận bao gồm giải mã chi tiết tại trang web sẽ giúp học viên học nkhô giòn với vận dụng chắc chắn là kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học tập viên lấy điểm A thi cuối kì các học tập phần Tân oán cao cấp 1 cùng Toán thời thượng 2 trong những ngôi trường kinh tế.

See more: Cách Xóa Lịch Sử Duyệt Web Trên Cốc Cốc, Xoá Lịch Sử Duyệt Web Trên Cốc Cốc Như Thế Nào

Sinch viên các trường ĐH tiếp sau đây có thể học tập được combo này:

- ĐH Kinc Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinc tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những ngôi trường ĐH không giống trên mọi toàn nước...